Friday, April 13, 2012

28 de marzo de 2012

FUNCIONES POLINOMIALES


         Una función polinomial de grado n es una función de la forma:
P(x)=a sub n x^n + A sub n -1^(n-1) +… + a sub 1 x + a sub 0
         Donde n es un número entero no negativo
Los números A sub 0, sub 1, sub 2.. A sub n, se llaman coeficientes del polinomio
El numero A sub 0 es el coeficiente constante
El numero A sub n , el coeficiente de la potencia más alta, es el coeficiente principal y el termino A sub n X^n es el termino principal.
         EJ. F(x)=3x^4-2x^3+8x^2+7x+1








Grafica de una función polinomial
         Grado del polinomio: n
         Multiplicidad par: grafica toca el eje de x
         Multiplicidad impar: grafica cruza el eje de x
         Entre ceros, la grafica puede estar debajo o encima del eje de x


Infancia y adolescencia
La temprana muerte de su madre, Jeanne Brochard, pocos meses después de su nacimiento, le llevará a ser cuidado por su abuela, su padre y su nodriza. Será criado a cargo de una nodriza a la que permanecerá ligado toda su vida en casa de su abuela materna. Su madre muere el 13 de mayo de 1597, trece meses después del nacimiento de René y pocos días después del nacimiento de un niño que no sobrevive.


Estatua de René Descartes en La Haye-Descartes.
Su padre comenzará a llamarle su «pequeño filósofo» porque el pequeño René se pasaba el día planteando preguntas.6
Con once años entra en el Collège Henri IV de La Flèche, un centro de enseñanza jesuita en el que impartía clase el Padre François Fournet —doctor en filosofía por la Universidad de Douai7 — y el Padre Jean François —que le enseñará matemáticas durante un año— en el que permanecerá hasta 1614.8 Estaba eximido de acudir a clase por la mañana debido a su débil salud9 y era muy valorado por los educadores a causa de sus precoces dotes intelectuales.10 Aprendió física y filosofía escolástica, y mostró un notable interés por las matemáticas; no obstante, no cesará de repetir en su Discurso del método que en su opinión este sistema educativo no era bueno para un adecuado desarrollo de la razón. De este periodo no conservamos más que una carta de dudosa autenticidad —puede ser de uno de sus hermanos— que en teoría Descartes escribió a su abuela.
Educación
La educación que recibió en La Flèche hasta los dieciséis años de edad (1604-1612) le proporcionó, durante los cinco primeros años de cursos, una sólida introducción a la cultura clásica, habiendo aprendido latín y griego en la lectura de autores como Cicerón, Horacio y Virgilio, por un lado, y Homero, Píndaro y Platón, por el otro. El resto de la enseñanza estaba basada principalmente en textos filosóficos de Aristóteles (Organon, Metafísica, Ética a Nicómaco), acompañados por comentarios de jesuitas (Suárez, Fonseca, Toledo, quizá Vitoria) y otros autores españoles (Cayetano). Conviene destacar que Aristóteles era entonces el autor de referencia para el estudio, tanto de la física, como de la biología. El plan de estudios incluía también una introducción a las matemáticas (Clavius), tanto puras como aplicadas: astronomía, música, arquitectura. Siguiendo una extendida práctica medieval y clásica, en esta escuela los estudiantes se ejercitaban constantemente en la discusión (Cfr. Gaukroger, quien toma en cuenta la Ratio studiorum: el plan de estudios que aplicaban las instituciones jesuíticas).
Juventud


Registro de graduación de Descartes en el Collège Royal Henry-Le-Grand, La Flèche, 1616.
A los 18 años de edad, Descartes ingresó a la Universidad de Poitiers para estudiar derecho y medicina. Para 1616 cuenta con los grados de bachiller y licenciado en Derecho.
A los veintidós años parte hacia los Países Bajos, donde observa los preparativos del ejército de Mauricio de Nassau para la inminente Guerra de los Treinta Años. En 1618, y 1619 reside en Holanda. Allí conocerá a un joven científico, Isaac Beeckman, con quien durante varios años mantiene una intensa y estrecha amistad. Para él escribe pequeños trabajos de física, como "Sobre la presión del agua en un vaso" y "Sobre la caída de una piedra en el vacío", así como un compendio de música. En 1619 se enrola en las filas del duque Maximiliano de Baviera. Acuartelado cerca de Baviera durante el invierno de 1619, pasa su tiempo en una habitación calentada por una estufa, donde tiene tres sueños sucesivos que interpreta como un mensaje del cielo para consagrarse a su misión de investigador. De esa época posiblemente data su concepción de una matemática universal y su invento de la geometría analítica.
Renuncia a la vida militar en 1619. Abandona Holanda, vive una temporada en Dinamarca y luego en Alemania, asistiendo a la coronación del emperador Fernando en Frankfurt. Viaja por Alemania y regresa a Francia en 1622, estancia que aprovecha para vender sus posesiones y así asegurarse una vida independiente. Pasa una temporada en Italia (1623-1625), donde sigue de cerca el itinerario que décadas antes había hecho Michel de Montaigne. Se afincó luego en París, donde se relaciona con la mayoría de científicos de la época. Los cinco primeros años a partir de 1628 los dedicó principalmente a elaborar su propio sistema del mundo y su concepción del hombre y del cuerpo humano, que estaba a punto de completar en 1633 cuando, al tener noticia de la condena de Galileo, renunció a la publicación de su obra, que tendría lugar póstumamente. En 1628 había decidido instalarse en los Países Bajos lugar que consideró más favorable para cumplir los objetivos filosóficos y científicos que se había fijado y residió allí hasta 1649.
Etapa investigadora


René Descartes en su escritorio.
En 1619, en Breda, conoció a Isaac Beeckman, quien intentaba desarrollar una teoría física corpuscularista, muy basada en conceptos matemáticos. El contacto con Beeckman estimuló en gran medida el interés de Descartes por las matemática y la física. Pese a los constantes viajes que realizó en esta época, Descartes no dejó de formarse y en 1620 conoció en Ulm al entonces famoso maestro calculista alemán Johann Faulhaber. Él mismo refiere que, inspirado por una serie de sueños, en esta época vislumbró la posibilidad de desarrollar una «ciencia maravillosa».11 El hecho es que, probablemente estimulado por estos contactos, Descartes descubre el teorema denominado de Euler sobre los poliedros.
A pesar de discurrir sobre los temas anteriores, Descartes no publica entonces ninguno de estos resultados. Durante su estancia más larga en París, Descartes reafirma relaciones que había establecido a partir de 1622 con otros intelectuales, como Marin Mersenne y Guez de Balzac, así como con un círculo conocido como «Los libertinos». En esta época sus amigos propagan su reputación, hasta el punto de que su casa se convirtió entonces en un punto de reunión para quienes gustaban intercambiar ideas y discutir. Con todo ello su vida parece haber sido algo agitada, pues en 1628 libra un duelo, tras el cual comentó que «no he hallado una mujer cuya belleza pueda compararse a la de la verdad».
El año siguiente, con la intención de dedicarse por completo al estudio, se traslada definitivamente a los Países Bajos, donde llevaría una vida modesta y tranquila, aunque cambiando de residencia constantemente para mantener oculto su paradero. Descartes permanece allí hasta 1649, viajando sin embargo en una ocasión a Dinamarca y en tres a Francia.
La preferencia de Descartes por Holanda parece haber sido bastante acertada, pues mientras en Francia muchas cosas podrían distraerlo y había escasa tolerancia, las ciudades holandesas estaban en paz, florecían gracias al comercio y grupos de burgueses potenciaban las ciencias fundándose la academia de Ámsterdam en 1632. Entre tanto, el centro de Europa se desgarraba en la Guerra de los Treinta Años, que terminaría en 1648.
En 1637 apareció su famoso Discurso del método, presentado como prólogo a tres ensayos científicos. Descartes proponía una duda metódica, que sometía a juicio todos los conocimientos de la época, aunque, a diferencia de los escépticos, la suya era una duda orientada a la búsqueda de principios últimos sobre los cuales cimentar sólidamente el saber. En los ensayos que publica en este mismo volumen presenta las leyes de refracción y reflexión de la luz (la Dióptrica); desarrolla la geometría analítica: La geometría. También publica allí Los meteoros.
El método que Descartes propuso para todas las ciencias y disciplinas consiste en descomponer los problemas complejos en partes progresivamente más sencillas hasta hallar los más básicos. En ese punto deberían captarse las naturalezas simples, que se presentan a la razón de un modo evidente, y Descartes prescribe proceder a partir de ellas, por síntesis, a reconstruir todo el complejo, exigiendo a cada nueva relación establecida entre ideas simples la misma evidencia de éstas.
Los ensayos científicos que seguían, ofrecían un compendio de sus teorías físicas, entre las que destaca su formulación de la ley de inercia y una especificación de su método para las matemáticas. Los fundamentos de su física mecanicista, que hacía de la extensión la principal propiedad de los cuerpos materiales, los situó en la metafísica que expuso en 1641, donde enunció así mismo su demostración de la existencia y la perfección de Dios y de la inmortalidad del alma. El mecanicismo radical de las teorías físicas de Descartes, sin embargo, determinó que fuesen superadas más adelante.
Pronto su filosofía empezó a ser conocida y comenzó a hacerse famoso, lo cual le acarreó amenazas de persecución religiosa por parte de algunas autoridades académicas y eclesiásticas, tanto en los Países Bajos como en Francia. En 1649 aceptó la invitación de la reina Cristina de Suecia y se desplazó a Estocolmo, donde murió cinco meses después de su llegada a consecuencia de una neumonía.
Descartes es considerado como el iniciador de la filosofía racionalista moderna por su planteamiento y resolución del problema de hallar un fundamento del conocimiento que garantice la certeza de éste, y como el filósofo que supone el punto de ruptura definitiva con la escolástica.





19-marzo-2012 biografia de Isaac Newton




Isaac Newton nació en las primeras horas del 25 de diciembre de 1642 (4 de enero de 1643, según el calendario gregoriano), en la pequeña aldea de Woolsthorpe, en el Lincolnshire. Su padre, un pequeño terrateniente, acababa de fallecer a comienzos de octubre, tras haber contraído matrimonio en abril del mismo año con Hannah Ayscough, procedente de una familia en otro tiempo acomodada. Cuando el pequeño Isaac acababa de cumplir tres años, su madre contrajo de nuevo matrimonio con el reverendo Barnabas Smith, rector de North Witham, lo que tuvo como consecuencia un hecho que influiría decisivamente en el desarrollo del carácter de Newton: Hannah se trasladó a la casa de su nuevo marido y su hijo quedó en Woolsthorpe al cuidado de su abuela materna.

Del odio que ello le hizo concebir a Newton contra su madre y el reverendo Smith da buena cuenta el que en una lista de «pecados» de los que se autoinculpó a los diecinueve años, el número trece fuera el haber deseado incendiarles su casa con ellos dentro. Cuando Newton contaba doce años, su madre, otra vez viuda, regresó a Woolsthorpe, trayendo consigo una sustanciosa herencia que le había legado su segundo marido (y de la que Newton se beneficiaría a la muerte de ella en 1679), además de tres hermanastros para Isaac, dos niñas y un niño.

La manzana de Newton
Un año más tarde Newton fue inscrito en la King's School de la cercana población de Grantham. Hay testimonios de que en los años que allí pasó alojado en la casa del farmacéutico, se desarrolló su poco usual habilidad mecánica, que ejercitó en la construcción de diversos mecanismos (el más citado es un reloj de agua) y juguetes (las famosas cometas, a cuya cola ataba linternas que por las noches asustaban a sus convecinos). También se produjo un importante cambio en su carácter: su inicial indiferencia por los estudios, surgida probablemente de la timidez y el retraimiento, se cambió en feroz espíritu competitivo que le llevó a ser el primero de la clase, a raíz de una pelea con un compañero de la que salió vencedor.

Fue un muchacho «sobrio, silencioso, meditativo», que prefirió construir utensilios, para que las niñas jugaran con sus muñecas, a compartir las diversiones de los demás muchachos, según el testimonio de una de sus compañeras femeninas infantiles, quien, cuando ya era una anciana, se atribuyó una relación sentimental adolescente con Newton, la única que se le conoce con una mujer.
Cumplidos los dieciséis años, su madre lo hizo regresar a casa para que empezara a ocuparse de los asuntos de la heredad. Sin embargo, el joven Isaac no se mostró en absoluto interesado por asumir sus responsabilidades como terrateniente; su madre, aconsejada por el maestro de Newton y por su propio hermano, accedió a que regresara a la escuela para preparar su ingreso en la universidad.
Éste se produjo en junio de 1661, cuando Newton fue admitido en el Trinity College de Cambridge, y se matriculó como fámulo, ganando su manutención a cambio de servicios domésticos, pese a que su situación económica no parece que lo exigiera así. Allí empezó a recibir una educación convencional en los principios de la filosofía aristotélica (por aquel entonces, los centros que destacaban en materia de estudios científicos se hallaban en Oxford y Londres), pero en 1663 se despertó su interés por las cuestiones relativas a la investigación experimental de la naturaleza, que estudió por su cuenta.

Fruto de esos esfuerzos independientes fueron sus primeras notas acerca de lo que luego sería su cálculo de fluxiones, estimuladas quizá por algunas de las clases del matemático y teólogo Isaac Barrow; sin embargo, Newton hubo de ser examinado por Barrow en 1664 al aspirar a una beca y no consiguió entonces inspirarle ninguna opinión especialmente favorable.
Al declararse en Londres la gran epidemia de peste de 1665, Cambridge cerró sus puertas y Newton regresó a Woolsthorpe. En marzo de 1666 se reincorporó al Trinity, que de nuevo interrumpió sus actividades en junio al reaparecer la peste, y no reemprendió definitivamente sus estudios hasta abril de 1667. En una carta póstuma, el propio Newton describió los años de 1665 y 1666 como su «época más fecunda de invención», durante la cual «pensaba en las matemáticas y en la filosofía mucho más que en ningún otro tiempo desde entonces».
El método de fluxiones, la teoría de los colores y las primeras ideas sobre la atracción gravitatoria, relacionadas con la permanencia de la Luna en su órbita en torno a la Tierra, fueron los logros que Newton mencionó como fechados en esos años, y él mismo se encargó de propagar, también hacia el final de su vida, la anécdota que relaciona sus primeros pensamientos sobre la ley de la gravedad con la observación casual de una manzana cayendo de alguno de los frutales de su jardín (Voltaire fue el encargado de propagar en letra impresa la historia, que conocía por la sobrina de Newton).

La óptica
A su regreso definitivo a Cambridge, Newton fue elegido miembro becario del Trinity College en octubre de 1667, y dos años más tarde sucedió a Barrow en su cátedra. Durante sus primeros años de docencia no parece que las actividades lectivas supusieran ninguna carga para él, ya que tanto la complejidad del tema como el sistema docente tutorial favorecían el absentismo a las clases. Por esa época, Newton redactó sus primeras exposiciones sistemáticas del cálculo infinitesimal que no se publicaron hasta más tarde. En 1664 o 1665 había hallado la famosa fórmula para el desarrollo de la potencia de un binomio con un exponente cualquiera, entero o fraccionario, aunque no dio noticia escrita del descubrimiento hasta 1676, en dos cartas dirigidas a Henry Oldenburg, secretario de la Royal Society; el teorema lo publicó por vez primera en 1685 John Wallis, el más importante de los matemáticos ingleses inmediatamente anteriores a Newton, reconociendo debidamente la prioridad de este último en el hallazgo.
El procedimiento seguido por Newton para establecer la fórmula binomial tuvo la virtud de hacerle ver el interés de las series infinitas para el cálculo infinitesimal, legitimando así la intervención de los procesos infinitos en los razonamientos matemáticos y poniendo fin al rechazo tradicional de los mismos impuesto por la matemática griega. La primera exposición sustancial de su método de análisis matemático por medio de series infinitas la escribió Newton en 1669; Barrow conoció e hizo conocer el texto, y Newton recibió presiones encaminadas a que permitiera su publicación, pese a lo cual (o quizá precisamente por ello) el escrito no llegó a imprimirse hasta 1711.
Tampoco en las aulas divulgó Newton sus resultados matemáticos, que parece haber considerado más como una herramienta para el estudio de la naturaleza que como un tema merecedor de atención en sí; el capítulo de la ciencia que eligió tratar en sus clases fue la óptica, a la que venía dedicando su atención desde que en 1666 tuviera la idea que hubo de llevarle a su descubrimiento de la naturaleza compuesta de la luz. En febrero de 1672 presentó a la Royal Society su primera comunicación sobre el tema, pocos días después de que dicha sociedad lo hubiera elegido como uno de sus miembros en reconocimiento de su construcción de un telescopio reflector. La comunicación de Newton aportaba la indiscutible evidencia experimental de que la luz blanca era una mezcla de rayos de diferentes colores, caracterizado cada uno por su distinta refrangibilidad al atravesar un prisma óptico.

19-marzo-2012

Funciones cuadraticas


problemas de aplicacion


1) Tenemos 3000m de alambre para cercar un terreno rectangular donde en uno de sus lados pasda un rio.Cual es el area maxima que puedes cercar?


p=2L+2w
p=L+2w
3000=L+2w
5000-2w=L

A=L(w)
A= (3000-2w)(w)
A=3000w-2w²
         a=3000        b= -2
f(x)= ax² + bx + c

v= ( -b f( -b ) )
       2a    2a

x= -b
     2a
w= -3000
         2(-2)

w=3000
         -4

w= 750m

L= 3000-2w
L=3000-2(750)
L= 1500m

A= (750)(1500)
A= 1,125,000m ²